integral e^tg theta sec ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza! A gente tem que resolver a integral . Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente usando mudança de variável (substituição). Vou mostrar passo a passo como resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável. Olha que temos no expoente e multiplicando. Sabemos que a derivada de é , então isso sugere uma substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = tan theta
Agora, derivamos dudtheta = sec^2 theta em relação a du = sec^2 theta , dtheta :
Isso significa que:
Perfeito! Agora podemos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral e^tan theta sec^2 theta , dtheta = integral e^u , du
Essa nova integral é bem mais simples de resolver.

Passo 5

Integrando integral e^u , du = e^u + C em relação a , a gente sabe que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo e^u + C = e^tan theta + C :

Resposta

A integral é igual a .

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