integral sec ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, mais especificamente a função secante elevada à quarta potência. Para resolver, vamos usar técnicas de integração que envolvem identidades trigonométricas e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma maneira que facilite a integração. Sabemos que . Então, podemos expressar como .

Passo 3

Vamos separar uma integral sec^4 x , dx = integral sec^2 x cdot sec^2 x , dx para usar na integração por partes:

Passo 4

Agora, aplicamos a identidade integral sec^4 x , dx = integral sec^2 x (1 + tan^2 x) , dx na segunda :

Passo 5

Distribuindo a integral sec^4 x , dx = integral sec^2 x , dx + integral sec^2 x tan^2 x , dx :

Passo 6

Sabemos que , onde é a constante de integração. Focamos agora na segunda integral.

Passo 7

Para a segunda integral , usamos a substituição. Vamos definir , então .

Passo 8

Substituindo na integral:
integral u^2 , du = u^33 + C = tan^3 x3 + C

Passo 9

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
integral sec^4 x , dx = tan x + tan^3 x3 + C

Resposta

integral sec^4 x , dx = tan x + tan^3 x3 + C

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