integral sec ^3 2 x tg 2 x d x

Passo 1

Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral de sec^3(2x) tan(2x) , dx. Isso envolve cálculo de integrais, especificamente integrais que têm funções trigonométricas como cosseno e tangente. Para resolver, vamos precisar conhecer algumas regras de integração e identidades trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral: integral sec^3(2x) tan(2x) , dx. Aqui, temos sec^3(2x) multiplicado por tan(2x). Uma boa estratégia é usar substituição, onde vamos definir uma parte da integral como uma nova variável.

Passo 3

Vamos definir u = sec(2x). Agora, precisamos derivar u em relação a x para encontrar du. A derivada de sec(2x) é sec(2x) tan(2x) cdot 2 (usando a regra da cadeia).
Então, du = 2 sec(2x) tan(2x) , dx.

Passo 4

Agora, resolvemos para dx: dx = du2 sec(2x) tan(2x).
Substituindo isso na integral original:
integral sec^3(2x) tan(2x) , dx = integral sec^3(2x) tan(2x) cdot du2 sec(2x) tan(2x).

Passo 5

Simplificando a expressão, os termos sec(2x) tan(2x) se cancelam:
integral sec^3(2x) tan(2x) cdot du2 sec(2x) tan(2x) = integral sec^2(2x)2 , du.
Como definimos u = sec(2x), temos sec^2(2x) = u^2.
Então, a integral fica:
integral u^22 , du.

Passo 6

Agora, vamos integrar u^22 em relação a u:
integral u^22 , du = 12 cdot u^33 + C = u^36 + C.

Passo 7

Finalmente, lembrando que u = sec(2x), substituímos de volta:
(sec(2x))^36 + C = sec^3(2x)6 + C.

Resposta

integral sec^3 2x tan 2x , dx = sec^3(2x)6 + C

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