integral sec ^5 x tg^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente das técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Além disso, sabemos que a derivada de é . Essas relações vão nos ajudar a fazer uma substituição adequada.

Passo 3

Observando a integral , podemos reescrevê-la como . Vamos separar uma parte que se assemelha à derivada de para facilitar a substituição.

Passo 4

Seja . Então, a derivada de em relação a é . Precisamos ajustar a integral para usar essa substituição.

Passo 5

Reescrevendo a integral: . Agora, usamos a identidade .

Passo 6

Substituindo na integral: , já que .

Passo 7

Agora, a integral fica separada em duas partes: . Mas isso pode complicar mais. Uma abordagem melhor é expressar tudo em termos de .

Passo 8

Relembrando que , então e . Substituímos esses na integral: .

Passo 9

Agora, é só integrar termo a termo: , onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituímos de volta na expressão: .

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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