Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral
. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente das técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
. Além disso, sabemos que a derivada de
é
. Essas relações vão nos ajudar a fazer uma substituição adequada.
Passo 3
Observando a integral
, podemos reescrevê-la como
. Vamos separar uma parte que se assemelha à derivada de
para facilitar a substituição.
Passo 4
Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Precisamos ajustar a integral para usar essa substituição.
Passo 5
Reescrevendo a integral:
. Agora, usamos a identidade
.
Passo 6
Substituindo
na integral:
, já que
.
Passo 7
Agora, a integral fica separada em duas partes:
. Mas isso pode complicar mais. Uma abordagem melhor é expressar tudo em termos de
.
Passo 8
Relembrando que
, então
e
. Substituímos esses na integral:
.
Passo 9
Agora, é só integrar termo a termo:
, onde
é a constante de integração.
Passo 10
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
.
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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