integral sen^5(2 t) cos ^2(2 t) d t

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral . O conteúdo aqui envolve técnicas de integração usando substituição trigonométrica. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e de como fazer uma boa substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que sin^4(2 t) = (sin^2(2 t))^2 = (1 - cos^2(2 t))^2 pode ser escrita como integral (1 - cos^2(2 t))^2 cdot sin(2 t) cdot cos^2(2 t) , dt . Também, podemos usar a identidade para simplificar :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar dudt = -2 sin(2 t) Rightarrow dt = du-2 sin(2 t) . Então, derivando ambos os lados em relação a integral (1 - u^2)^2 cdot (-12) cdot u^2 , du = -12 integral u^2 (1 - 2u^2 + u^4) , du , temos:
Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos agora expandir e integrar cada termo separadamente:
- 12 integral (u^2 - 2u^4 + u^6) , du = -12 ( u^33 - 2u^55 + u^77 ) + C
Simplificando:
- u^36 + u^55 - u^714 + C

Passo 5

Agora, substituímos - cos^3(2 t)6 + cos^5(2 t)5 - cos^7(2 t)14 + C de volta por :

Resposta

integral sin^5(2 t) cos^2(2 t) , dt = -cos^3(2 t)6 + cos^5(2 t)5 - cos^7(2 t)14 + C

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