integral sen 2 x cos 3 x d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral de sen 2x multiplicado por cos 3x em relação a x. Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente de integrais que envolvem produtos de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de produtos de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma, o que simplifica a integração. A identidade é:
sen A cos B = 12 [ sen(A + B) + sen(A - B) ]

Passo 3

Agora, aplicamos essa identidade no nosso caso, onde A = 2x e B = 3x:
sen 2x cos 3x = 12 [ sen(2x + 3x) + sen(2x - 3x) ] = 12 [ sen 5x + sen (-x) ]
Como sen (-x) = -sen x, simplificamos:
12 [ sen 5x - sen x ]

Passo 4

Agora, a integral fica mais fácil de resolver:
integral sen 2x cos 3x , dx = 12 integral [ sen 5x - sen x ] , dx = 12 ( -15 cos 5x + 11 cos x ) + C

Resposta

-110 cos 5x + 12 cos x + C

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