Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as funções
e
são ortogonais no intervalo de -2 a 2. Isso faz parte do estudo de funções ortogonais dentro de Álgebra Linear ou Análise de Fourier. Para resolver, vamos precisar entender o que significa duas funções serem ortogonais e como calcular o “produto interno” delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos saber o que é ser ortogonal no contexto de funções. Duas funções são ortogonais em um intervalo se, quando você multiplica elas ponto a ponto e integra sobre esse intervalo, o resultado dá zero. Isso é similar a vetores serem perpendiculares no espaço, onde o produto interno também é zero.
Passo 3
Então, vamos calcular o produto interno das duas funções no intervalo de -2 a 2. A fórmula do produto interno é:
Substituindo as funções dadas:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral de
de -2 a 2:
Resposta
Como o resultado da integral é zero, concluímos que as funções
e
são ortogonais no intervalo de -2 a 2.