Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
a) f1(x) = x, f2(x) = x^2, [-2, 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as funções e são ortogonais no intervalo de -2 a 2. Isso faz parte do estudo de funções ortogonais dentro de Álgebra Linear ou Análise de Fourier. Para resolver, vamos precisar entender o que significa duas funções serem ortogonais e como calcular o “produto interno” delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos saber o que é ser ortogonal no contexto de funções. Duas funções são ortogonais em um intervalo se, quando você multiplica elas ponto a ponto e integra sobre esse intervalo, o resultado dá zero. Isso é similar a vetores serem perpendiculares no espaço, onde o produto interno também é zero.

Passo 3

Então, vamos calcular o produto interno das duas funções no intervalo de -2 a 2. A fórmula do produto interno é:
Substituindo as funções dadas:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de de -2 a 2:

Resposta

Como o resultado da integral é zero, concluímos que as funções e são ortogonais no intervalo de -2 a 2.

Exercícios relacionados

Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
b) f(x) = x cos(3x)
integral sen 2 x cos 3 x d x
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
c) f1(x) = x, f2(x) = cos(2x), [-pi/2, pi/2]
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
e) f1(x) = cos(x), f2(x) = sen^2(x), [0, pi]