integral x^3(2-x^2)^1 / 2 d x

Passo 1

Então, temos a integral . Vamos resolver isso usando cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para isso, precisamos escolher uma parte da integral para substituir por uma nova variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Dessa forma, precisamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral x^3raiz2 - x^2 , dx = integral u cdot raiz2 - u cdot du2 = 12 integral u raiz2 - u , du . Observamos que . Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a integral dv = -du Rightarrow du = -dv . Para isso, fazemos uma nova substituição. Definimos 12 integral u raiz2 - u , du = 12 integral (2 - v) raizv cdot (-dv) = 12 integral (2 - v) raizv , dv , então:
Substituindo na integral, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral (2 - v) raizv , dv = integral 2raizv , dv - integral vraizv , dv
Simplificando cada termo:
integral 2raizv , dv = 2 cdot 23 v^3/2 = 43 v^3/2
integral vraizv , dv = integral v^3/2 , dv = 25 v^5/2

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
12 ( 43 v^3/2 - 25 v^5/2 ) = 23 v^3/2 - 15 v^5/2
Agora, substituímos 23 (2 - x^2)^3/2 - 15 (2 - x^2)^5/2 + C e :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados