integral t d traizt+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada e torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que e, derivando ambos os lados em relação a , temos .

Passo 3

Agora, substituímos integral t , dtraizt + 3 = integral (u - 3) , duraizu e na integral original pela nossa nova variável :

Passo 4

Vamos simplificar a fração dividindo cada termo no numerador por integral u - 3raizu , du = integral ( uraizu - 3raizu ) , du :
Sabemos que e .

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral raizu , du - 3 integral u^-12 , du
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 6

Integrando integral u^12 , du = u^3232 = 23 u^32 :
3 integral u^-12 , du = 3 cdot u^1212 = 6 u^12
E integrando :

Passo 7

Agora, juntando as duas integrais:
23 u^32 - 6 u^12 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Por fim, substituímos 23 (t + 3)^32 - 6 (t + 3)^12 + C de volta na expressão:

Resposta

integral t , dtraizt + 3 = 23 (t + 3)^32 - 6 (t + 3)^12 + C

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