integral(t-1) sec ^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está ligada ao Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes e identificar quais partes da nossa expressão correspondem a cada termo da fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nessa fórmula, a gente escolhe partes da nossa integral original para serem e .

Passo 3

No nosso caso, vamos definir:
u = t - 1
Então, precisamos encontrar du = ddt(t - 1) , dt = 1 , dt , que é a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, definimos dv = sec^2 t , dt como o que sobra na nossa integral:
v = integral sec^2 t , dt = tan t
Para encontrar , vamos integrar :
Porque sabemos que a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral (t - 1) sec^2 t , dt = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (t - 1) tan t - integral tan t cdot 1 , dt

Passo 6

Precisamos agora resolver a integral integral tan t , dt = -ln|cos t| + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
(t - 1) tan t - (-ln|cos t|) + C
Simplificando:
(t - 1) tan t + ln|cos t| + C

Resposta

A integral (t - 1) tan t + ln|cos t| + C é igual a:

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