integral x^2+2 xx^3+3 x^2-4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando o método de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 1^3 + 3 cdot 1^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 . Para isso, buscamos raízes racionais possíveis. Testando :
Então, é uma raiz, e podemos fatorar o polinômio como .

Passo 3

Agora, observe que x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2 pode ser escrito como . Portanto, o denominador fica:

Passo 4

Com o denominador fatorado, vamos decompor a fração x^2+2 x(x - 1)(x + 2)^2 = Ax - 1 + Bx + 2 + C(x + 2)^2 em frações parciais:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados pela expressão fatorada do denominador para eliminar as frações:
x^2 + 2x = A(x + 2)^2 + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)
Vamos encontrar os valores de , e .

Passo 6

Para facilitar, substituímos valores que anulam alguns termos:
  • Para 1^2 + 2 cdot 1 = A(3)^2 Rightarrow 3 = 9A Rightarrow A = 13 :
    (-2)^2 + 2 cdot (-2) = C(-3) Rightarrow 0 = -3C Rightarrow C = 0
  • Para :

Passo 7

Para encontrar 0 + 0 = A(2)^2 + B(-1)(2) + 0 Rightarrow 0 = 43 - 2B Rightarrow 2B = 43 Rightarrow B = 23 , podemos substituir outro valor, por exemplo, :

Passo 8

Agora que temos os valores de x^2+2 x(x - 1)(x + 2)^2 = 1/3x - 1 + 2/3x + 2 , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 9

Finalmente, integramos cada termo separadamente:
integral 1/3x - 1 , dx + integral 2/3x + 2 , dx = 13 ln|x - 1| + 23 ln|x + 2| + C

Resposta

13 ln|x - 1| + 23 ln|x + 2| + C

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