Resolva as integrais abaixo: integral raizx^4+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a integral . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais envolvendo funções com potências de . Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1) pode ser fatorado da seguinte maneira:
integral raizx^2(x^2 + 1) , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

A próxima coisa que a gente pode fazer é separar a raiz:
raizx^2(x^2 + 1) = raizx^2 cdot raizx^2 + 1
Sabemos que raizx^2 = x . Vamos supor que integral x raizx^2 + 1 , dx seja positivo para simplificar (se não for, o processo é similar):
Então, a integral agora é:

Passo 4

Agora, vamos usar a técnica da substituição. Vamos escolher uma parte da integral para chamar de u = x^2 + 1 que simplifique a expressão. Vamos deixar:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2
Então, derivando ambos os lados em relação a integral x raizx^2 + 1 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du :
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2 em relação a 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2 :
Então, multiplicando pelo que estava lá:

Passo 6

Agora, substituímos u = x^2 + 1 Rightarrow u^3/2 = (x^2 + 1)^3/2 de volta pela expressão original em termos de 13 (x^2 + 1)^3/2 + C :
Então, a integral fica:
onde é a constante de integração.

Resposta

integral raizx^4 + x^2 , dx = 13 (x^2 + 1)^3/2 + C

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