Qual integral tripla, em coordenadas cartesianas e na ordem , fornece o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelo plano z=0 e pelas superfícies e ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (isso significa que todas as coordenadas , e são positivas ou zero). Esse sólido é limitado pelo plano (o plano ), pela superfície e pela curva . Para resolver isso, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas na ordem . Precisamos determinar os limites de integração para , e que descrevem exatamente esse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites para . A parte de cima do sólido é dada pela superfície e a parte de baixo é o plano . Então, para cada ponto no plano , varia de 0 até . Podemos expressar isso como:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . A curva que está restringindo é . No primeiro octante, começa em 0 e vai até onde essa curva atinge a superfície . Para encontrar isso, podemos observar que quando , temos , ou seja, . Portanto, varia de:

Passo 4

Por último, vamos definir os limites para . A curva que relaciona e é . Para um dado , começa em 0 e vai até (porque quando resolvemos para ). Portanto, os limites para são:

Resposta

Com todos os limites definidos, a integral tripla que representa o volume do sólido é:

Exercícios relacionados

é a região entre os círculos e , então
vale
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Existem duas operações importantes que são realizadas em campos vetoriais. Elas são consideradas básicas na aplicação do cálculo vetorial à mecânica dos fluidos, à eletricidade e ao magnetismo. Cada uma lembra uma diferenciação, mas uma produz um campo vetorial enquanto a outra gera um campo escalar.
O enunciado se refere às operações de:
a. convergência e rotacional.
b. rotacional e divergência.
c. divergente e vetor.
d. vetor e divergente.
e. direcional e divergência.
Se é a seção do cilindro parabólico , compreendida acima da regiāo retangular , entāo a integral da funçāo sobre vale
a) .
b) -4 .
c) .
d) .
e) .