Qual integral tripla, em coordenadas cartesianas e na ordem
, fornece o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelo plano z=0 e pelas superfícies
e
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (isso significa que todas as coordenadas
,
e
são positivas ou zero). Esse sólido é limitado pelo plano
(o plano
), pela superfície
e pela curva
. Para resolver isso, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas na ordem
. Precisamos determinar os limites de integração para
,
e
que descrevem exatamente esse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites para
. A parte de cima do sólido é dada pela superfície
e a parte de baixo é o plano
. Então, para cada ponto
no plano
,
varia de 0 até
. Podemos expressar isso como:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para
. A curva que está restringindo
é
. No primeiro octante,
começa em 0 e vai até onde essa curva atinge a superfície
. Para encontrar isso, podemos observar que quando
, temos
, ou seja,
. Portanto,
varia de:
Passo 4
Por último, vamos definir os limites para
. A curva que relaciona
e
é
. Para um dado
,
começa em 0 e vai até
(porque
quando resolvemos
para
). Portanto, os limites para
são:
Resposta
Com todos os limites definidos, a integral tripla que representa o volume do sólido é: