Qual integral tripla, em coordenadas cartesianas e na ordem dz dy dx, fornece o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelo plano z=0 e pelas superfícies z = 1 - y^2 e y = x^2 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (isso significa que todas as coordenadas , e são positivas ou zero). Esse sólido é limitado pelo plano (o plano ), pela superfície e pela curva . Para resolver isso, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas na ordem . Precisamos determinar os limites de integração para , e que descrevem exatamente esse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites para . A parte de cima do sólido é dada pela superfície e a parte de baixo é o plano . Então, para cada ponto no plano , varia de 0 até . Podemos expressar isso como:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . A curva que está restringindo é . No primeiro octante, começa em 0 e vai até onde essa curva atinge a superfície . Para encontrar isso, podemos observar que quando , temos , ou seja, . Portanto, varia de:

Passo 4

Por último, vamos definir os limites para . A curva que relaciona e é . Para um dado , começa em 0 e vai até (porque quando resolvemos para ). Portanto, os limites para são:

Resposta

Com todos os limites definidos, a integral tripla que representa o volume do sólido é:

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