A integral tripla é denotada como ∭ f ( x , y , z ) d v , onde f ( x , y , z ) é a função a ser integrada e d v é um elemento infinitesimal de volume. Dessa forma o valor do volume dado pela integral ∫ 2 1 ∫ 1 − 1 ∫ 2 0 x + y + z d x d y d z v é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas. A gente tem que calcular o valor da integral tripla de $ f(x, y, z) = x + y + z $ sobre o volume definido pelos limites de integração: $ x $ vai de 0 a 2, $ y $ vai de -1 a 1, e $ z $ vai de 1 a 2. Para isso, vamos precisar usar as regras de integração múltipla, especificamente a integral tripla, que nos ajuda a encontrar o volume ou outras grandezas em espaços tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função $ f(x, y, z) = x + y + z $ em relação a $ x $, mantendo $ y $ e $ z $ constantes. A integral de $ x $ em relação a $ x $ de 0 a 2 é:
Como $ y $ e $ z $ são constantes em relação a $ x $, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado $ 2 + 2y + 2z $ em relação a $ y $, de -1 a 1:
Integrando cada termo:
Então, temos $ 4 + 4z $.
Passo 4
Por fim, vamos integrar $ 4 + 4z $ em relação a $ z $, de 1 a 2:
Integrando cada termo:
Resposta
O valor do volume dado pela integral é 10.