em que é o sólido definido por:
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral tripla . O sólido é definido por . Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A desigualdade define uma parte de uma esfera com raio 2 (porque é a parte superior da esfera ) que está acima do plano . Então, estamos lidando com um “coroa” esférica acima de .

Passo 3

Agora, para calcular a integral , é mais fácil mudar para coordenadas esféricas, onde , e . O diferencial de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Como estamos na esfera de raio 2, vai de 0 a 2. O ângulo completa a volta, então vai de 0 a . Para , já que , temos , ou seja, . Isso implica que varia de 0 até .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :
Avaliada de 0 a , fica:

Passo 7

Substituindo de volta na integral:

Passo 8

Calculando a integral em :
Então, a integral fica:

Resposta

A resposta final é .

Exercícios relacionados

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido.
O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que é o sólido que está abaixo da semiesfera
e acima do paraboloide
em que é o sólido limitado abaixo pelo plano e acima pelo paraboloide
Resp.: .
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido.
O sólido delimitado pelos paraboloides