em que
é o sólido definido por:
Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral tripla
. O sólido
é definido por
. Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A desigualdade
define uma parte de uma esfera com raio 2 (porque
é a parte superior da esfera
) que está acima do plano
. Então, estamos lidando com um “coroa” esférica acima de
.
Passo 3
Agora, para calcular a integral
, é mais fácil mudar para coordenadas esféricas, onde
,
e
. O diferencial de volume em coordenadas esféricas é
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Como estamos na esfera de raio 2,
vai de 0 a 2. O ângulo
completa a volta, então vai de 0 a
. Para
, já que
, temos
, ou seja,
. Isso implica que
varia de 0 até
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Avaliada de 0 a
, fica:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Calculando a integral em
:
Então, a integral fica:
Resposta
A resposta final é
.
Exercícios relacionados
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido.
O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que
é o sólido que está abaixo da semiesfera
e acima do paraboloide
em que
é o sólido limitado abaixo pelo plano
e acima pelo paraboloide
Resp.:
.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido.
O sólido delimitado pelos paraboloides
O sólido delimitado pelos paraboloides