integral triplaE z d V
em que E é o sólido definido por:
1 <= z <= raiz4-x^2-y^2
Resp.: 9 pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral tripla . O sólido é definido por . Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A desigualdade define uma parte de uma esfera com raio 2 (porque é a parte superior da esfera ) que está acima do plano . Então, estamos lidando com um “coroa” esférica acima de .

Passo 3

Agora, para calcular a integral , é mais fácil mudar para coordenadas esféricas, onde , e . O diferencial de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Como estamos na esfera de raio 2, vai de 0 a 2. O ângulo completa a volta, então vai de 0 a . Para , já que , temos , ou seja, . Isso implica que varia de 0 até .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^arccos(1rho) (rho cosphi) cdot rho^2 sinphi , dphi , drho , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral0^2 rho^3 integral0^arccos(1rho) cosphi sinphi , dphi , drho , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integral cosphi sinphi , dphi = 12 sin^2phi :
12 sin^2(arccos(1rho)) - 0 = 12 (1 - (1rho)^2)
Avaliada de 0 a , fica:

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
integral0^2pi integral0^2 rho^3 cdot 12 (1 - 1rho^2) , drho , dtheta = 12 integral0^2pi integral0^2 (rho^3 - rho) , drho , dtheta

Passo 8

Calculando a integral em integral0^2 (rho^3 - rho) , drho = [rho^44 - rho^22]0^2 = (164 - 42) - 0 = (4 - 2) = 2 :
12 cdot 2 integral0^2pi dtheta = integral0^2pi dtheta = 2pi
Então, a integral fica:

Resposta

A resposta final é .

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