Use a integral tripla para determinar o volume do sólido.
O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um tetraedro usando integração tripla. Esse tetraedro é limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral tripla para encontrar volumes de sólidos definidos por planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Precisamos descobrir até onde cada variável (x, y e z) vai variar dentro do tetraedro. Olhando para o plano
, podemos resolver para z:
Então, z varia de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para y. Quando z = 0, a equação do plano fica:
Então, y varia de 0 até
.
Passo 4
Finalmente, vamos determinar os limites para x. Quando y = 0 e z = 0, a equação do plano dá:
Então, x varia de 0 até 6.
Passo 5
Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a z:
Então, agora a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a y:
Substituindo os limites:
Simplificando isso nos dará uma expressão em termos de x.
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a x:
Após calcular essa integral, obteremos o valor do volume.
Resposta
O volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
é 4 unidades c��bicas.
Exercícios relacionados
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que
é o sólido que está abaixo da semiesfera
e acima do paraboloide
Calcule:
em que
é o sólido definido por:
Resp.:
.
em que
é o sólido limitado abaixo pelo plano
e acima pelo paraboloide
Resp.:
.