integral u^n d u=u^n+1n+1+C, n neq-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma integral básica da matemática: , onde . Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente das integrais de potências. Para resolver, vamos precisar entender a regra de integração de funções polinomiais e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa integrar uma função. Integrar é encontrar uma função cuja derivada seja . Isso é útil para calcular áreas sob curvas, resolver problemas de física, entre outros.

Passo 3

A regra que vamos usar aqui é a Regra da Potência para Integrais. Ela diz que, para qualquer número real integral u^n , du = u^n+1n+1 + C diferente de , a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que aparece porque existem infinitas funções que diferem apenas por uma constante.

Passo 4

Vamos aplicar essa regra ao nosso caso. Temos integral u^n , du = u^n+1n+1 + C , então seguindo a regra:
  1. Aumentamos o expoente em 1, ficando .
  2. Dividimos pela nova potência .
  3. Adicionamos a constante .
Então, fica:

Passo 5

Lembrando que essa regra só funciona se integral 1u , du = ln|u| + C . Se , a função vira , e sua integral é diferente:
Por isso, a condição é importante para evitar dividir por zero na fórmula inicial.

Resposta

Portanto, a integral de integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, n neq -1 em relação a é:

Exercícios relacionados

integral sin u d u=-cos u+C
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral 1raiza^2-x^2 d x, a neq 0 é uma constante.
integral a^u d u=a^uln a+C
integral cos u d u=sin u+C