Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral 1raiza^2-x^2 d x, a neq 0 é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais usando substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que nos ajude a simplificar . Uma boa escolha aqui é usar a substituição trigonométrica . Isso porque sabemos que , o que vai facilitar a simplificação da raiz.

Passo 3

Com dx = a cos theta , dtheta , precisamos encontrar em termos de . Diferenciando ambos os lados, temos:

Passo 4

Agora, substituímos integral 1raiza^2-x^2 dx = integral 1raiza^2-a^2sin^2 theta cdot a cos theta , dtheta e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiza^2-a^2sin^2 theta = raiza^2(1 - sin^2 theta) = a cos theta
Então, a integral fica:
integral 1a cos theta cdot a cos theta , dtheta = integral 1 , dtheta

Passo 6

Integrando, temos:
integral 1 , dtheta = theta + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = arcsin(xa) . Lembrando que fizemos a substituição , então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integrale^e^2 1x ln x d x.
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral0^1 / 2 arcsen xraiz1-x^2 d x.
integral sin u d u=-cos u+C
integral u^n d u=u^n+1n+1+C, n neq-1