integral x^2+5(x^2+4 x+5)(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a fração parcial, que ajuda a decompor frações complexas em somas de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos na integral. O numerador é e o denominador é . Como o grau do numerador (2) é igual ao grau do denominador (2 + 1 = 3), podemos proceder diretamente com a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
x^2+5(x^2+4 x+5)(x+2) = Ax+2 + Bx + Cx^2+4x+5
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar x^2 + 5 = A(x^2 + 4x + 5) + (Bx + C)(x + 2) , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
x^2 + 5 = A x^2 + 4A x + 5A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C
Juntando os termos semelhantes:
x^2 + 5 = (A + B)x^2 + (4A + 2B + C)x + (5A + 2C)

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo A + B = 1 & (coeficiente de x^2) 4A + 2B + C = 0 & (coeficiente de x) 5A + 2C = 5 & (termo constante) , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 4(1 - B) + 2B + C = 0 4 - 4B + 2B + C = 0 -2B + C = -4 (Equação 2)
  2. Substituindo 5(1 - B) + 2C = 5 5 - 5B + 2C = 5 -5B + 2C = 0 (Equação 3) na segunda equação:
-2B + C = -4 -5B + 2C = 0 çã
  1. Substituindo -4B + 2C = -8 na terceira equação:
(-4B + 2C) - (-5B + 2C) = -8 - 0 B = -8 çã
Agora, temos:
A = 1 - (-8) = 9
Resolvendo esse sistema, multiplicamos a primeira equação por 2:
-2(-8) + C = -4 16 + C = -4 C = -20
Subtraindo a segunda equação:
Substituindo na equação :
E substituindo em :

Passo 8

Agora que temos x^2+5(x^2+4 x+5)(x+2) = 9x+2 + -8x - 20x^2+4x+5 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 9x+2 , dx + integral -8x - 20x^2+4x+5 , dx
A primeira integral é direta:
9 integral 1x+2 , dx = 9 ln|x+2|
Para a segunda integral, vamos simplificar o numerador. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1
Então, reescrevemos o numerador:
-8x - 20 = -8(x + 2) - 4
Agora, a integral fica:
-8 integral x+2(x+2)^2 + 1 , dx - 4 integral 1(x+2)^2 + 1 , dx
Essas integrais são padrão:
-8 cdot 12 ln((x+2)^2 + 1) - 4 arctan(x+2)
Simplificando:
-4 ln((x+2)^2 + 1) - 4 arctan(x+2)

Resposta

A integral 9 ln|x+2| - 4 ln((x+2)^2 + 1) - 4 arctan(x+2) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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