Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a integral
. Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais para decompor frações racionais. Para resolver, vamos precisar dividir a expressão em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia aqui é expressar essa fração como uma soma de frações mais simples cujo denominador seja cada um dos fatores da original.
Assumimos que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação.
Passo 4
Expandindo:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
-
: -
: - Termo constante:
Temos um sistema de equações para resolver.
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituímos
na segunda equação:
Agora, substituímos
e
na terceira equação:
Agora, encontramos
e
:
Passo 7
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Podemos fatorar o
para facilitar:
Passo 9
Integrando cada parte:
Para
, fazemos uma substituição:
Para
, reconhecemos uma integral padrão:
Aqui,
:
Para
:
Passo 10
Juntando tudo, temos:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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(d)