integral x+2(x^2+9)(x+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a integral . Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais para decompor frações racionais. Para resolver, vamos precisar dividir a expressão em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x+2(x^2+9)(x+4) = Ax + Bx^2+9 + Cx+4 em frações parciais. A ideia aqui é expressar essa fração como uma soma de frações mais simples cujo denominador seja cada um dos fatores da original.
Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum x + 2 = (Ax + B)(x + 4) + C(x^2 + 9) para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação.

Passo 4

Expandindo:
x + 2 = Ax(x) + Ax(4) + B(x) + B(4) + Cx^2 + 9C
x + 2 = Ax^2 + 4Ax + Bx + 4B + Cx^2 + 9C
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x + 2 = (A + C)x^2 + (4A + B)x + (4B + 9C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
  1. :
  2. :
  3. Termo constante:
Temos um sistema de equações para resolver.

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
A + C = 0 implies C = -A
Substituímos 4A + B = 1 implies B = 1 - 4A na segunda equação:
4(1 - 4A) + 9(-A) = 2
Agora, substituímos 4 - 16A - 9A = 2 e 4 - 25A = 2 implies -25A = -2 implies A = 225 na terceira equação:
C = -A = -225
B = 1 - 4A = 1 - 4(225) = 1 - 825 = 1725
Agora, encontramos e :

Passo 7

Com os valores de x+2(x^2+9)(x+4) = 225x + 1725x^2+9 + -225x+4 , = 2x + 1725(x^2+9) - 225(x+4) e encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x + 1725(x^2+9) dx - integral 225(x+4) dx
Podemos fatorar o 125 ( integral 2x + 17x^2+9 dx - integral 2x+4 dx ) para facilitar:

Passo 9

Integrando cada parte:
Para u = x^2 + 9 implies du = 2x dx implies integral 2xx^2+9 dx = integral duu = ln|u| + C = ln(x^2 + 9) + C , fazemos uma substituição:
integral dxx^2+a^2 = 1a tan^-1(xa) + C
Para integral 17x^2+9 dx = 17 cdot 13 tan^-1(x3) = 173 tan^-1(x3) + C , reconhecemos uma integral padrão:
2 integral 1x+4 dx = 2 ln|x + 4| + C
Aqui, :
Para :

Passo 10

Juntando tudo, temos:
125 ( ln(x^2 + 9) + 173 tan^-1(x3) - 2 ln|x + 4| ) + C
Simplificando:
125 ln(x^2 + 9) + 1775 tan^-1(x3) - 225 ln|x + 4| + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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