integral 2 x+1(x^2-4)(x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente em frações parciais. Para resolver, vamos decompôr a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador, se possível. Temos x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) , que é uma diferença de quadrados. Então:
(x^2 - 4)(x + 1) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)
Agora, o denominador completo fica:

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração 2x + 1(x - 2)(x + 2)(x + 1) = Ax - 2 + Bx + 2 + Cx + 1 em frações parciais. Ou seja, vamos escrever:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 2x + 1 = A(x + 2)(x + 1) + B(x - 2)(x + 1) + C(x - 2)(x + 2) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de 2(2) + 1 = A(2 + 2)(2 + 1) + B(0) + C(0) Rightarrow 5 = A cdot 4 cdot 3 Rightarrow A = 512 , 2(-2) + 1 = A(0) + B(-2 - 2)(-2 + 1) + C(0) Rightarrow -3 = B cdot (-4) cdot (-1) Rightarrow B = -34 e 2(-1) + 1 = A(0) + B(0) + C(-1 - 2)(-1 + 2) Rightarrow -1 = C cdot (-3) cdot 1 Rightarrow C = 13 substituindo valores estratégicos de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos os valores de 2x + 1(x - 2)(x + 2)(x + 1) = 512x - 2 + -34x + 2 + 13x + 1 , 512(x - 2) - 34(x + 2) + 13(x + 1) e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 512(x - 2) , dx - integral 34(x + 2) , dx + integral 13(x + 1) , dx
Lembrando que , onde é a constante de integração.

Passo 8

Realizando as integrações:
512 ln|x - 2| - 34 ln|x + 2| + 13 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral 512 ln|x - 2| - 34 ln|x + 2| + 13 ln|x + 1| + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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