integral 6 x-2(x^2-1)(x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente tem a integral de uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O conteúdo que vamos usar aqui é a fração parcial, uma técnica que ajuda a simplificar integrais desse tipo. Para resolver, vamos dividir a fração original em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que temos:
integral 6x - 2(x^2 - 1)(x + 1) , dx
O denominador pode ser fatorado, já que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) é uma diferença de quadrados:
6x - 2(x - 1)(x + 1)(x + 1) = 6x - 2(x - 1)(x + 1)^2
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de frações parciais. Queremos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Vamos supor que:
6x - 2(x - 1)(x + 1)^2 = Ax - 1 + Bx + 1 + C(x + 1)^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de 6x - 2 = A(x + 1)^2 + B(x - 1)(x + 1) + C(x - 1) , 6x - 2 = A(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 - 1) + C(x - 1) e 6x - 2 = (A + B)x^2 + (2A + C)x + (A - B - C) . Para isso, multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum A + B = 0 2A + C = 6 A - B - C = -2 :
Expandiindo e simplificando:
Agora, vamos coletar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes:

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: A - (-A) - C = -2 Rightarrow 2A - C = -2 2A + C = 6 2A - C = -2
  2. Substituindo 4A = 4 Rightarrow A = 1 na terceira equação:
B = -A = -1
  1. Temos agora duas equações:
2(1) + C = 6 Rightarrow C = 4
Somando as duas equações:
  1. Encontrando :
  1. Encontrando usando :

Passo 5

Agora que encontramos 6x - 2(x - 1)(x + 1)^2 = 1x - 1 - 1x + 1 + 4(x + 1)^2 , integral 1x - 1 , dx - integral 1x + 1 , dx + integral 4(x + 1)^2 , dx e ln|x - 1| - ln|x + 1| - 4x + 1 + C , podemos reescrever a fração original:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Resposta

ln|x - 1| - ln|x + 1| - 4x + 1 + C

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