Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente tem a integral de uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O conteúdo que vamos usar aqui é a fração parcial, uma técnica que ajuda a simplificar integrais desse tipo. Para resolver, vamos dividir a fração original em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que temos:
O denominador pode ser fatorado, já que é uma diferença de quadrados:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de frações parciais. Queremos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum :
Expandiindo e simplificando:
Agora, vamos coletar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: A - (-A) - C = -2 Rightarrow 2A - C = -2 → 2A + C = 6 2A - C = -2
Substituindo 4A = 4 Rightarrow A = 1 na terceira equação:
B = -A = -1
Temos agora duas equações:
2(1) + C = 6 Rightarrow C = 4
Somando as duas equações:
Encontrando :
Encontrando usando :
Passo 5
Agora que encontramos 6x - 2(x - 1)(x + 1)^2 = 1x - 1 - 1x + 1 + 4(x + 1)^2 , integral 1x - 1 , dx - integral 1x + 1 , dx + integral 4(x + 1)^2 , dx e ln|x - 1| - ln|x + 1| - 4x + 1 + C , podemos reescrever a fração original: