integral-1^3(3 x^2+5 x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada termo da função individualmente. A integração é o processo inverso da derivada e nos ajuda a encontrar a área sob a curva dessa função entre os limites dados.

Passo 3

Integrando o primeiro termo integral 3x^2 dx = 3 cdot x^33 = x^3 :
Aqui, usamos a regra .

Passo 4

Integrando o segundo termo integral 5x dx = 5 cdot x^22 = 52x^2 :
Aplicamos novamente a regra da potência para integração.

Passo 5

Integrando o terceiro termo integral (-1) dx = -x :
A integral de uma constante é .

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais:
integral (3x^2+5x-1) dx = x^3 + 52x^2 - x + C
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos considerar a constante .

Passo 7

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos permite avaliar a antiderivada nos limites de integração:
[ x^3 + 52x^2 - x ]-1^3 = (3^3 + 52 cdot 3^2 - 3) - ((-1)^3 + 52 cdot (-1)^2 - (-1))

Passo 8

Calculando os valores:
= (27 + 52 cdot 9 - 3) - (-1 + 52 cdot 1 + 1)
= (27 + 22.5 - 3) - (-1 + 2.5 + 1)
= 46.5 - 2.5 = 44

Resposta

O valor da integral é 44.

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