integral x d x(x^2+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral x , dx(x^2+1)^3
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional. Vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída para facilitar a integração. Observamos que o denominador u = x^2 + 1 está relacionado à derivada de .
Vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 para substituir :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos integral x , dx(x^2+1)^3 = integral du2u^3 = 12 integral u^-3 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C em relação a 12 (-12u^2) = -14u^2 + C :
Multiplicando pela constante que tínhamos:

Passo 6

Por fim, substituímos u = x^2 + 1 Rightarrow u^2 = (x^2 + 1)^2 de volta para -14u^2 + C = -14(x^2+1)^2 + C :
Então:

Resposta

A integral vale:
integral x , dx(x^2+1)^3 = -14(x^2+1)^2 + C

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