integral x^2x^3+7 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observamos que o denominador é e o numerador é . Se fizermos uma substituição onde , conseguiremos relacionar o numerador com a derivada de .

Passo 3

Calculamos a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 , dx :
x^2 , dx = du3
Isso significa que:
Queremos isolar para substituir na integral:

Passo 4

Substituímos integral x^2x^3+7 , dx = integral 1u cdot du3 = 13 integral 1u , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples e fácil de resolver.

Passo 5

A integral de 13 integral 1u , du = 13 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo 13 ln|x^3 + 7| + C :

Resposta

integral x^2x^3+7 , dx = 13 ln|x^3 + 7| + C

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