Sabendo que , determine a função que satisfaz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a derivada de uma função , que é , e nos pede para encontrar a própria função sabendo que . Para resolver isso, vamos precisar fazer uma integração da derivada para achar e depois usar a condição dada para descobrir a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar . A integral que temos é:
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Substituindo na integral original:
Agora, vamos integrar :
Voltando para a variável original , temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição para encontrar a constante . Substituindo na expressão encontrada:
Então, isolando :

Resposta

Portanto, a função que satisfaz e é:

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