A Regra da Cadeia pode ser usada repetidamente. Se y é função de u, u é função de x, e x é função de t, a regra fica dy/dt = dy/du * du/dx * dx/dt. Sabendo disso, calcule a derivada de y = raiz(1 + tan^2(cos(x))).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada de . Isso envolve cálculo de derivadas usando a Regra da Cadeia, que é como uma ferramenta para derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Então, vamos precisar entender como cada parte dessa função se relaciona para aplicar a regra certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que estão “dentro” umas das outras. Aqui, temos:
  • y é uma função de , onde
  • v é uma função de , onde
Então, a gente vai precisar derivar cada uma dessas partes passo a passo.

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a . A derivada de é . Isso porque, de forma geral, a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . A derivada de é . Então:

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a . A derivada de é :

Passo 6

Agora, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos todas essas derivadas juntas para encontrar :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 7

Simplificando essa expressão, os 2 do numerador e denominador cancelam:
Lembrando que e , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Calcule d/y d/x nos casos abaixo. y = sen(raiz(x)) + raiz(sen(x))
integral0^infty e^-k x d x, k>0
integral(x^3+1)^1 / 3 x^2 d x
Mostre que o raio de curvatura(raio do Círculo Osculador) de uma curva plana duas vezes derivável r(t) = f(t) i + g(t) j é dado pela fórmula
rho = (dot(x)^2 + dot(y)^2) / raiz(ddot(x)^2 + ddot(y)^2 - ddot(s)^2)
Sendo ddot(s) = d/dt raiz(dot(x)^2 + dot(y)^2), onde os pontos indicam as derivadas em relação a t.