A Regra da Cadeia pode ser usada repetidamente. Se
é função de
,
é função de
, e
é função de
, a regra fica
. Sabendo disso, calcule a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada de
. Isso envolve cálculo de derivadas usando a Regra da Cadeia, que é como uma ferramenta para derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Então, vamos precisar entender como cada parte dessa função se relaciona para aplicar a regra certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que estão “dentro” umas das outras. Aqui, temos:
- y é uma função de
, onde - v é uma função de
, onde
Então, a gente vai precisar derivar cada uma dessas partes passo a passo.
Passo 3
Vamos começar derivando
em relação a
. A derivada de
é
. Isso porque, de forma geral, a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. A derivada de
é
. Então:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
. A derivada de
é
:
Passo 6
Agora, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos todas essas derivadas juntas para encontrar
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 7
Simplificando essa expressão, os 2 do numerador e denominador cancelam:
Lembrando que
e
, podemos substituir de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule
nos casos abaixo.
Mostre que o raio de curvatura(raio do Círculo Osculador) de uma curva plana duas vezes derivável
é dado pela fórmula
Sendo
, onde os pontos indicam as derivadas em relação a
.