integral x^3raiz2+5 x^4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observamos que a expressão dentro da raiz é u = 2 + 5x^4 . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 20x^3 em relação a du = 20x^3 , dx para determinar . Calculando:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x^3 , dx = du20 em termos de . A partir da equação anterior, temos:

Passo 5

Substituindo integral x^3raiz2+5x^4 , dx = integral 1raizu cdot du20 = 120 integral u^-1/2 , du e na integral original, ficamos com:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C . Sabemos que:
120 integral u^-1/2 , du = 120 cdot 2u^1/2 + C = 110 raizu + C
Portanto:

Passo 7

Por fim, substituímos 110 raiz2 + 5x^4 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral 110 raiz2 + 5x^4 + C é igual a:

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