Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral de uma fração em relação a . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração de frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que pode ser escrito como uma diferença de quadrados:
E mais a fatoração:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos supor que a fração pode ser decomposta em frações parciais da seguinte forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar , , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito para igualar os coeficientes dos termos correspondentes de .
Passo 5
Expandindo cada termo:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes do lado esquerdo e direito:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Primeiro, somamos as equações 1 e 3:
Agora, subtraímos a equação 4 da equação 2:
Usando e substituindo na equação 2:
Como e , então e .
Agora, usando :
Passo 8
Agora que temos , , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais: