Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral de uma fração em relação a . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração de frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que pode ser escrito como uma diferença de quadrados:
E mais a fatoração:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos supor que a fração pode ser decomposta em frações parciais da seguinte forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar , , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito para igualar os coeficientes dos termos correspondentes de .

Passo 5

Expandindo cada termo:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes do lado esquerdo e direito:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Primeiro, somamos as equações 1 e 3:
Agora, subtraímos a equação 4 da equação 2:
Usando e substituindo na equação 2:
Como e , então e .
Agora, usando :

Passo 8

Agora que temos , , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais conhecidas são:
Aplicando isso:

Resposta

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