integral 2 x^3+x^2+2 x-1x^4-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral de uma fração em relação a . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração de frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) . Sabemos que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) pode ser escrito como uma diferença de quadrados:
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
E mais a fatoração:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos supor que a fração pode ser decomposta em frações parciais da seguinte forma:
2x^3 + x^2 + 2x - 1(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx + Dx^2 + 1
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar 2x^3 + x^2 + 2x - 1 = A(x + 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 - 1) , , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito para igualar os coeficientes dos termos correspondentes de .

Passo 5

Expandindo cada termo:
A(x + 1)(x^2 + 1) = A(x^3 + x^2 + x + 1)
B(x - 1)(x^2 + 1) = B(x^3 - x^2 + x - 1)
(Cx + D)(x^2 - 1) = Cx^3 - Cx + Dx^2 - D
Somando tudo:
A x^3 + A x^2 + A x + A + B x^3 - B x^2 + B x - B + C x^3 - C x + D x^2 - D
Agrupando termos semelhantes:
(A + B + C) x^3 + (A - B + D) x^2 + (A + B - C) x + (A - B - D)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes do lado esquerdo e direito:
A + B + C = 2 (coeficiente de x^3) A - B + D = 1 (coeficiente de x^2) A + B - C = 2 (coeficiente de x) A - B - D = -1 (termo constante)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. 2A + 2B = 4 Rightarrow A + B = 2
  2. (A - B + D) - (A - B - D) = 1 - (-1) Rightarrow 2D = 2 Rightarrow D = 1
  3. A - B + 1 = 1 Rightarrow A - B = 0 Rightarrow A = B
  4. 1 + 1 + C = 2 Rightarrow C = 0
Primeiro, somamos as equações 1 e 3:
Agora, subtraímos a equação 4 da equação 2:
Usando e substituindo na equação 2:
Como e , então e .
Agora, usando :

Passo 8

Agora que temos 2x^3 + x^2 + 2x - 1x^4 - 1 = 1x - 1 + 1x + 1 + 0x + 1x^2 + 1 = 1x - 1 + 1x + 1 + 1x^2 + 1 , , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x - 1 dx + integral 1x + 1 dx + integral 1x^2 + 1 dx
As integrais conhecidas são:
integral 1x - a dx = ln|x - a| + C
integral 1x^2 + a^2 dx = 1a tan^-1(xa) + C
Aplicando isso:
ln|x - 1| + ln|x + 1| + tan^-1(x) + C

Resposta

integral 2x^3 + x^2 + 2x - 1x^4 - 1 dx = ln|x - 1| + ln|x + 1| + tan^-1(x) + C

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