integral x^3 ln (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma questão de cálculo envolvendo integração por partes. Pra resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes, que geralmente é usada quando temos o produto de duas funções, como aqui com e .

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa regra é escolher como a função que fica mais simples quando diferenciada, e como o que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(2x) Rightarrow du = ddx ln(2x) , dx = 12x cdot 2 , dx = 1x , dx
dv = x^3 , dx Rightarrow v = integral x^3 , dx = x^44
Então, temos , , e .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^3 ln(2x) , dx = u cdot v - integral v , du = ln(2x) cdot x^44 - integral x^44 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
integral x^44 cdot 1x , dx = 14 integral x^3 , dx = 14 cdot x^44 = x^416

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
integral x^3 ln(2x) , dx = x^44 ln(2x) - x^416 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x^3 ln(2x) , dx = x^44 ln(2x) - x^416 + C

Exercícios relacionados