Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos
. O que estamos lidando aqui é uma integral que envolve uma função polinomial (
) multiplicada por uma função exponencial (
). Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica poderosa para integrar produtos de funções. Então, vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral puxando o 3 para fora:
Agora, focamos em resolver
. Para isso, vamos aplicar a integração por partes, que segue a fórmula:
Precisamos escolher
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica quando derivada e
como o restante. Então, vamos definir:
-
(porque ao derivar, reduzimos o grau do polinômulo) -
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
para encontrar : Vamos resolver essa integral. Fazendo uma substituição simples, seja, então . Portanto, Ignoramos a constante de integração por enquanto, então:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para ela.
Passo 5
Novamente, definimos
e
para a nova integral:
Calculando
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
:
Aplicando integração por partes novamente:
Simplificando:
E sabemos que:
Então,
Passo 6
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o 4:
Podemos fatorar
:
E simplificando mais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Portanto, a integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.