Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos . O que estamos lidando aqui é uma integral que envolve uma função polinomial ( ) multiplicada por uma função exponencial ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica poderosa para integrar produtos de funções. Então, vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral puxando o 3 para fora:
Agora, focamos em resolver . Para isso, vamos aplicar a integração por partes, que segue a fórmula:
Precisamos escolher e . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada e como o restante. Então, vamos definir:
  • (porque ao derivar, reduzimos o grau do polinômulo)

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando para encontrar :
    Vamos resolver essa integral. Fazendo uma substituição simples, seja , então . Portanto,
    Ignoramos a constante de integração por enquanto, então:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes para ela.

Passo 5

Novamente, definimos e para a nova integral:
Calculando e :
  • Derivando :
  • Integrando :
Aplicando integração por partes novamente:
Simplificando:
E sabemos que:
Então,

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o 4:
Podemos fatorar :
E simplificando mais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados