integral 3 x^2 e^-x / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos integral 3 x^2 e^-x / 2 , dx. O que estamos lidando aqui é uma integral que envolve uma função polinomial ( x^2) multiplicada por uma função exponencial ( e^-x/2). Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica poderosa para integrar produtos de funções. Então, vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral puxando o 3 para fora:
integral 3 x^2 e^-x / 2 , dx = 3 integral x^2 e^-x / 2 , dx
Agora, focamos em resolver integral x^2 e^-x / 2 , dx. Para isso, vamos aplicar a integração por partes, que segue a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher u e dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica quando derivada e dv como o restante. Então, vamos definir:
  • u = x^2 (porque ao derivar, reduzimos o grau do polinômulo)
  • dv = e^-x / 2 , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
    du = ddxx^2 , dx = 2x , dx
  • Integrando dv para encontrar v:
    v = integral e^-x / 2 , dx
    Vamos resolver essa integral. Fazendo uma substituição simples, seja w = -x/2, então dw = -1/2 , dx Rightarrow dx = -2 , dw. Portanto,
    v = integral e^w cdot (-2) , dw = -2 e^w + C = -2 e^-x / 2 + C
    Ignoramos a constante de integração por enquanto, então:
    v = -2 e^-x / 2

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 e^-x / 2 , dx = u cdot v - integral v , du = x^2 cdot (-2 e^-x / 2) - integral (-2 e^-x / 2) cdot 2x , dx
Simplificando:
= -2x^2 e^-x / 2 + 4 integral x e^-x / 2 , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver: integral x e^-x / 2 , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes para ela.

Passo 5

Novamente, definimos u e dv para a nova integral:
  • u = x
  • dv = e^-x / 2 , dx
Calculando du e v:
  • Derivando u:
    du = ddxx , dx = 1 , dx
  • Integrando dv:
    v = integral e^-x / 2 , dx = -2 e^-x / 2
Aplicando integração por partes novamente:
integral x e^-x / 2 , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot (-2 e^-x / 2) - integral (-2 e^-x / 2) cdot 1 , dx
Simplificando:
= -2x e^-x / 2 + 2 integral e^-x / 2 , dx
E sabemos que:
integral e^-x / 2 , dx = -2 e^-x / 2
Então,
= -2x e^-x / 2 + 2(-2 e^-x / 2) = -2x e^-x / 2 - 4 e^-x / 2

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 e^-x / 2 , dx = -2x^2 e^-x / 2 + 4 ( -2x e^-x / 2 - 4 e^-x / 2 )
Distribuindo o 4:
= -2x^2 e^-x / 2 - 8x e^-x / 2 - 16 e^-x / 2
Podemos fatorar e^-x / 2:
= -2x^2 e^-x / 2 - 8x e^-x / 2 - 16 e^-x / 2 = -e^-x / 2 (2x^2 + 8x + 16)
E simplificando mais:
= -2 (x^2 + 4x + 8) e^-x / 2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral integral 3 x^2 e^-x / 2 , dx é igual a:
-6 (x^2 + 4x + 8) e^-x / 2 + C
Onde C é a constante de integração.

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