integral x^2 arctg(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Este exercício envolve integrais que combinam funções polinomiais com funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental no cálculo para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa escolha geralmente é deixar como a parte que se simplifica ao derivar.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, vamos derivar u = arctg(x) e dv = x^2 , dx e integrar du = 11 + x^2 , dx e v = integral x^2 , dx = x^33 para encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante x^31 + x^2 = x - x1 + x^2 . Podemos simplificar essa fração polinomial dividindo integral x^31 + x^2 , dx = integral x , dx - integral x1 + x^2 , dx por integral x , dx = x^22 :
integral x1 + x^2 , dx = 12 ln(1 + x^2)
Então, a integral fica:
integral x^31 + x^2 , dx = x^22 - 12 ln(1 + x^2) + C
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde x^33 arctg(x) - x^26 + 16 ln(1 + x^2) + C é a constante de integração.

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