Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Este exercício envolve integrais que combinam funções polinomiais com funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental no cálculo para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Uma boa escolha geralmente é deixar
como a parte que se simplifica ao derivar.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, vamos derivar
e integrar
para encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral restante
. Podemos simplificar essa fração polinomial dividindo
por
:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Seja a seguinte integral dupla:
b) Resolva a integral dupla considerando
.