integral e^9 x cos (2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de integração por partes e funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra de integração por partes e saber como aplicar fórmulas envolvendo exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = e^9x e dv = cos(2x) , dx
Agora, vamos calcular du = 9e^9x , dx e v = integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x) :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^9x cos(2x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores encontrados:
= e^9x cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) cdot 9e^9x , dx
Simplificando:
= 12 e^9x sin(2x) - 92 integral e^9x sin(2x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = e^9x e dv = sin(2x) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes, escolhendo:
du = 9e^9x , dx
Calculando v = -12 cos(2x) e :

Passo 6

Aplicando integração por partes na segunda integral:
integral e^9x sin(2x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo:
= e^9x cdot (-12 cos(2x)) - integral (-12 cos(2x)) cdot 9e^9x , dx
Simplificando:
= -12 e^9x cos(2x) + 92 integral e^9x cos(2x) , dx

Passo 7

Voltando à equação do Passo 4, substituímos a integral encontrada:
integral e^9x cos(2x) , dx = 12 e^9x sin(2x) - 92 ( -12 e^9x cos(2x) + 92 integral e^9x cos(2x) , dx )
Simplificando:
= 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x) - 814 integral e^9x cos(2x) , dx

Passo 8

Vamos chamar a integral original de I = integral e^9x cos(2x) , dx :
I = 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x) - 814 I
Substituindo na equação:
I + 814 I = 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x)
Agora, vamos isolar 854 I = 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x) :
I = ( 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x) ) cdot 485
I = 285 e^9x sin(2x) + 985 e^9x cos(2x) + C

Resposta

integral e^9x cos (2x) , dx = 285 e^9x sin(2x) + 985 e^9x cos(2x) + C

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