Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de integração por partes e funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra de integração por partes e saber como aplicar fórmulas envolvendo exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos aplicar novamente a integração por partes, escolhendo:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando integração por partes na segunda integral:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à equação do Passo 4, substituímos a integral encontrada:
Simplificando:

Passo 8

Vamos chamar a integral original de :
Substituindo na equação:
Agora, vamos isolar :

Resposta

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Seja a seguinte integral dupla:
b) Resolva a integral dupla considerando .
Ache .