integral x^2 e^-4 x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de problema está na área de cálculo integral, mais especificamente na técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Observamos que o expoente é uma função que, quando derivada, se relaciona com o termo que está multiplicando. Então, vamos fazer a substituição:
Seja .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -12x^2 em relação a dx = du-12x^2 para fazer a substituição completa na integral. Calculando a derivada:
Rearranjando para encontrar :

Passo 4

Vamos substituir integral x^2 e^-4 x^3 , dx = integral x^2 e^u cdot du-12x^2 = integral e^u-12 , du e na integral original:
Aqui, os termos se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral e^u-12 , du = -112 integral e^u , du
A integral de -112 e^u + C em relação a é , então:

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original -112 e^-4x^3 + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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