integral x^7 e^x^4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Este exercício envolve técnicas de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observamos que o expoente da função exponencial é u = x^4 , e temos um termo multiplicando. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 4x^3 em relação a du = 4x^3 , dx Rightarrow x^3 , dx = du4 :
Isso significa que:

Passo 4

Observamos que na integral original temos integral x^7 e^x^4 , dx = integral u cdot e^u cdot du4 = 14 integral u e^u , du . Podemos reescrever como . Substituindo por e por , a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral v = u dw = e^u , du . Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
dv = du w = e^u
Calculando integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C e :
Usando a fórmula da integração por partes , temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial, substituímos 14 integral u e^u , du = 14 ( u e^u - e^u ) + C = 14 ( x^4 e^x^4 - e^x^4 ) + C por 14 e^x^4 (x^4 - 1) + C :
Podemos fatorar :

Resposta

A integral e^x^4 (x^4 - 1)4 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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