integral e^2 x cos ^2(e^2 x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^2 x cos ^2(e^2 x-1) d x. A matéria aqui envolve cálculo, especificamente integrais que combinam funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos usar substituição e uma identidade trigonométrica para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar u = e^2x - 1. Assim, precisamos calcular o du em relação a x.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
dudx = 2e^2x
Portanto, du = 2e^2x dx, o que significa que e^2x dx = du2.

Passo 4

Agora, substituímos e^2x dx por du2 na integral original:
integral e^2 x cos ^2(e^2 x-1) d x = 12 integral cos^2(u) du

Passo 5

Para integrar cos^2(u), usamos a identidade trigonométrica:
cos^2(u) = 1 + cos(2u)2
Substituindo na integral:
12 integral 1 + cos(2u)2 du = 14 integral (1 + cos(2u)) du

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
14 ( integral 1 , du + integral cos(2u) , du ) = 14 ( u + sin(2u)2 ) + C

Passo 7

Substituímos u = e^2x - 1 de volta na expressão:
14 ( e^2x - 1 + sin(2(e^2x-1))2 ) + C

Resposta

A integral é igual a 14 ( e^2x - 1 + sin(2(e^2x-1))2 ) + C, onde C é a constante de integração.

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