Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a parte real do produto de dois números complexos, e , é igual à parte real de vezes a parte real de menos a parte imaginária de vezes a parte imaginária de . Estamos falando de números complexos e das operações com eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar números complexos e como identificar suas partes reais e imaginárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de um número complexo. Um número complexo pode ser escrito como:
onde é a parte real e é a parte imaginária.
Passo 3
Temos dois números complexos:
Aqui, e são as partes reais, e e são as partes imaginárias de e , respectivamente.
Passo 4
Vamos multiplicar por :
Para multiplicar, usamos a distributiva:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo:
é um número real.
é imaginário.
também é imaginário.
. Como , isso vira .
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos separar as partes reais e imaginárias:
Aqui, a parte real é e a parte imaginária é .
Passo 7
A parte real de é, portanto:
Por outro lado, a parte real de é e a parte real de é . A parte imaginária de é e a de é .
Passo 8
Agora, vamos calcular :
Passo 9
Comparando os dois resultados:
Os dois lados são iguais, o que prova o que queríamos mostrar.