Mostre que Re(z1 z2)=Re(z1) Re(z2)-Im(z1) Im(z2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a parte real do produto de dois números complexos, e , é igual à parte real de vezes a parte real de menos a parte imaginária de vezes a parte imaginária de . Estamos falando de números complexos e das operações com eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar números complexos e como identificar suas partes reais e imaginárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de um número complexo. Um número complexo z = a + bi pode ser escrito como:
onde é a parte real e é a parte imaginária.

Passo 3

Temos dois números complexos:
z1 = a + bi
z2 = c + di
Aqui, e são as partes reais, e e são as partes imaginárias de e , respectivamente.

Passo 4

Vamos multiplicar z1 z2 = (a + bi)(c + di) por z1 z2 = a cdot c + a cdot di + bi cdot c + bi cdot di :
Para multiplicar, usamos a distributiva:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
  • z1 z2 = ac + adi + bci - bd é um número real.
  • é imaginário.
  • também é imaginário.
  • . Como , isso vira .
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos separar as partes reais e imaginárias:
z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
Aqui, a parte real é e a parte imaginária é .

Passo 7

A parte real de Re(z1 z2) = ac - bd é, portanto:
Por outro lado, a parte real de é e a parte real de é . A parte imaginária de é e a de é .

Passo 8

Agora, vamos calcular Re(z1) Re(z2) - Im(z1) Im(z2) = a cdot c - b cdot d = ac - bd :

Passo 9

Comparando os dois resultados:
Re(z1 z2) = ac - bd
Re(z1) Re(z2) - Im(z1) Im(z2) = ac - bd
Os dois lados são iguais, o que prova o que queríamos mostrar.

Resposta

Mostramos que é verdadeiro.

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