Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a parte real do produto de dois números complexos,
e
, é igual à parte real de
vezes a parte real de
menos a parte imaginária de
vezes a parte imaginária de
. Estamos falando de números complexos e das operações com eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar números complexos e como identificar suas partes reais e imaginárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de um número complexo. Um número complexo
pode ser escrito como:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Passo 3
Temos dois números complexos:
Aqui,
e
são as partes reais, e
e
são as partes imaginárias de
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos multiplicar
por
:
Para multiplicar, usamos a distributiva:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo:
-
é um número real. -
é imaginário. -
também é imaginário. -
. Como , isso vira .
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos separar as partes reais e imaginárias:
Aqui, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 7
A parte real de
é, portanto:
Por outro lado, a parte real de
é
e a parte real de
é
. A parte imaginária de
é
e a de
é
.
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Passo 9
Comparando os dois resultados:
Os dois lados são iguais, o que prova o que queríamos mostrar.
Resposta
Mostramos que
é verdadeiro.