integral-2^2(x^5-2 x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral-2^2(x^5-2 x^2) dx
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integral definida, que calcula a área sob a curva entre dois pontos, aqui de -2 a 2. Para resolver, vamos precisar conhecer funções ímpares e pares e como elas se comportam em integrais simétricas.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes:
integral-2^2 x^5 dx e integral-2^2 (-2x^2) dx
Isso facilita a resolução, lidando com cada termo separadamente.

Passo 3

Primeiro, analisamos a função (-x)^5 = -x^5 . Essa função é ímpar, porque se substituirmos integral-2^2 x^5 dx = 0 por , temos:
Funções ímpares têm uma propriedade especial quando integradas em intervalos simétricos em torno de zero: a integral delas de a é zero. Então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte:
integral-2^2 (-2x^2) dx
Podemos fatorar o -2:
-2 integral-2^2 x^2 dx

Passo 5

A função (-x)^2 = x^2 é par, porque:
integral-a^a x^2 dx = 2 integral0^a x^2 dx
Funções pares têm uma propriedade que nos permite simplificar a integral em intervalos simétricos:
2 integral0^2 x^2 dx
Aqui, , então:

Passo 6

Agora, calculamos a integral de integral x^2 dx = x^33 + C :
x^33 |0^2 = 2^33 - 0^33 = 83 - 0 = 83
Avaliado de 0 a 2:

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
-2 times 2 times 83 = -4 times 83 = -323

Resposta

O valor da integral é .

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