integral0^1(1+3 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função polinomial. Vamos precisar expandir a expressão dentro da integral para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (1 + 3x)^2 = 1^2 + 2 cdot 1 cdot 3x + (3x)^2 = 1 + 6x + 9x^2 . Para isso, usamos a fórmula do quadrado da soma: .
Então:

Passo 3

Agora que temos a expressão expandida, substituímos na integral:
integral0^1(1 + 6x + 9x^2) dx
Vamos integrar termo por termo.

Passo 4

Integrando cada termo:
integral 1 , dx = x
integral 6x , dx = 6 cdot x^22 = 3x^2
integral 9x^2 , dx = 9 cdot x^33 = 3x^3
Então, a integral fica:
x + 3x^2 + 3x^3 |0^1

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 1:
(1 + 3(1)^2 + 3(1)^3) - (0 + 3(0)^2 + 3(0)^3) = 1 + 3 + 3 = 7

Resposta

integral0^1(1+3x)^2 dx = 7

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