integral1^2 15 x^2(x^3+4)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que está dentro e pode ser substituída. Observamos que temos u = x^3 + 4 elevado à quinta potência. Então, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx em relação a para substituir o na integral. Calculando a derivada:

Passo 4

Vamos isolar x^2 dx = du3 para substituir na integral original:

Passo 5

Substituindo integral1^2 15 x^2(x^3+4)^5 dx = integralu(1)^u(2) 15 cdot (u)^5 cdot du3 e na integral original:

Passo 6

Simplificando os constantes:
15 cdot 13 = 5
Então, a integral fica:
5 integralu(1)^u(2) u^5 du

Passo 7

Agora, precisamos alterar os limites de integração de u(1) = 1^3 + 4 = 5 para u(2) = 2^3 + 4 = 12 . Quando :
E quando :
Portanto, os novos limites são de 5 a 12.

Passo 8

Agora, vamos integrar integral u^5 du = u^66 + C :
Como estamos avaliando em limites definidos, a constante não é necessária.

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
5 [ u^66 ]5^12 = 56 (12^6 - 5^6)

Passo 10

Calculando os valores:
12^6 = 2985984 e 5^6 = 15625
Substituindo na expressão:
56 (2985984 - 15625) = 56 times 2960360 = 148018006 = 24669666

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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