integral1^e ln (t)t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição útil. Olhando para a integral , percebemos que se deixarmos , então a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 3

Fazendo a substituição, a integral fica mais simples:
integral ln(t)t , dt = integral u , du
Agora, temos uma integral mais fácil de resolver: .

Passo 4

A integral de integral u , du = u^22 + C é , onde é a constante de integração. Então,

Passo 5

Agora, substituímos u^22 + C = (ln(t))^22 + C de volta para :
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a , a constante cancela.

Passo 6

Vamos avaliar a função antiderivada nos limites de integração:
(ln(t))^22 |1^e = (ln(e))^22 - (ln(1))^22
Sabemos que e .

Resposta

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