integral x^3 d x(x^2+4)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integração envolvendo potências de polinômios. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observamos que no denominador temos e no numerador temos . Vamos separar como para ver se conseguimos uma relação com o denominador.

Passo 3

Reescrevemos a integral assim:
integral x cdot x^2 , dx(x^2+4)^3 / 2
Agora, percebemos que integral x cdot [(x^2+4) - 4] , dx(x^2+4)^3 / 2 . Vamos substituir isso na integral:

Passo 4

Agora, distribuímos o integral x cdot (x^2+4) , dx(x^2+4)^3 / 2 - integral 4x , dx(x^2+4)^3 / 2 no numerador:
integral x , dx(x^2+4)^1/2 - 4 integral x , dx(x^2+4)^3 / 2
Simplificando cada termo:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando pela primeira:
integral x , dx(x^2+4)^1/2
Aqui, fazemos a substituição:
u = x^2 + 4 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Substituindo na integral:
12 integral duu^1/2 = 12 cdot 2u^1/2 = u^1/2 = raizx^2 + 4

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
-4 integral x , dx(x^2+4)^3 / 2
Novamente, usamos a substituição:
u = x^2 + 4 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Substituindo na integral:
-4 cdot 12 integral duu^3/2 = -2 integral u^-3/2 , du = -2 cdot (-2u^-1/2) = 4u^-1/2 = 4raizx^2 + 4

Passo 7

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
raizx^2 + 4 + 4raizx^2 + 4 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x^3 , dx(x^2+4)^3 / 2 = raizx^2 + 4 + 4raizx^2 + 4 + C

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