Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
integral x(2 x+5)^10 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x(2 x+5)^10 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples, o que facilitará a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a expressão (2x + 5)^10, parece uma boa ideia definir u = 2x + 5. Isso simplifica a parte complicada da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando:
dudx = 2 Rightarrow du = 2 , dx Rightarrow dx = du2

Passo 4

Também precisamos expressar x em termos de u para substituir na integral original. A partir de u = 2x + 5, podemos resolver para x:
x = u - 52

Passo 5

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral x(2x +5)^10 , dx = integral (u - 52) u^10 (du2)
Simplificando os coeficientes:
= 14 integral (u - 5) u^10 , du

Passo 6

Vamos distribuir u^10 dentro do parêntese:
= 14 integral (u^11 - 5u^10) , du

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
= 14 ( u^1212 - 5u^1111 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituímos u de volta por 2x + 5 para expressar a resposta em termos de x:
= 14 ( (2x + 5)^1212 - 5(2x + 5)^1111 ) + C
Podemos simplificar um pouco mais:
= (2x + 5)^1248 - 5(2x + 5)^1144 + C

Resposta

A integral integral x(2 x+5)^10 , dx é igual a:
(2x + 5)^1248 - 5(2x + 5)^1144 + C
Onde C é a constante de integração.

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