Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
integral ln (2 x) d xx ln (4 x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral ln (2x)x ln (4x) , dx
Estamos lidando com integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos usar uma substituição adequada que simplifique a expressão. Precisamos identificar uma parte da função que, ao substituir, torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os logaritmos para facilitar nosso trabalho. Sabemos que:
ln(4x) = ln(4) + ln(x)
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
integral ln (2x)x (ln 4 + ln x) , dx

Passo 3

Vamos agora focar na substituição. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos termos envolvendo u = ln x . Vamos definir uma nova variável du = 1x , dx Rightarrow dx = x , du como:
Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Agora, substituímos dx = x , du na integral. Primeiro, substituímos ln(2x) = ln 2 + ln x = ln 2 + u :
integral ln 2 + ux (ln 4 + u) cdot x , du = integral ln 2 + uln 4 + u , du
E também substituímos :
Substituindo todos esses na integral original:

Passo 5

Agora, observamos que a expressão ln 2 + uln 4 + u = 1 + ln 2 - ln 4ln 4 + u pode ser simplificada. Podemos separar a fração:
ln 2 - ln 4 = ln 2 - 2 ln 2 = -ln 2
Sabemos que integral (1 - ln 2ln 4 + u) , du = integral 1 , du - ln 2 integral 1ln 4 + u , du , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
Primeiro:
integral 1 , du = u + C
Segundo:
ln 2 integral 1ln 4 + u , du = ln 2 cdot ln|ln 4 + u| + C
Juntando as duas partes:
u - ln 2 cdot ln|ln 4 + u| + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original ln x - ln 2 cdot ln|ln 4 + ln x| + C , lembrando que ln 4 + ln x = ln (4x) :
ln x - ln 2 cdot ln(ln (4x)) + C
Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, a solução final é:

Resposta

A integral calculada é
ln x - ln 2 cdot ln(ln (4x)) + C

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