Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Estamos lidando com integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos usar uma substituição adequada que simplifique a expressão. Precisamos identificar uma parte da função que, ao substituir, torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os logaritmos para facilitar nosso trabalho. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

Vamos agora focar na substituição. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos termos envolvendo . Vamos definir uma nova variável como:
Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Agora, substituímos na integral. Primeiro, substituímos :
E também substituímos :
Substituindo todos esses na integral original:

Passo 5

Agora, observamos que a expressão pode ser simplificada. Podemos separar a fração:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
Primeiro:
Segundo:
Juntando as duas partes:

Passo 7

Agora, voltamos à variável original , lembrando que :
Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, a solução final é:

Resposta

A integral calculada é

Exercícios relacionados

Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(a) ;
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo: