Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Estamos lidando com integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos usar uma substituição adequada que simplifique a expressão. Precisamos identificar uma parte da função que, ao substituir, torne a integral mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os logaritmos para facilitar nosso trabalho. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Passo 3
Vamos agora focar na substituição. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos termos envolvendo
. Vamos definir uma nova variável
como:
Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
na integral. Primeiro, substituímos
:
E também substituímos
:
Substituindo todos esses na integral original:
Passo 5
Agora, observamos que a expressão
pode ser simplificada. Podemos separar a fração:
Sabemos que
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
Primeiro:
Segundo:
Juntando as duas partes:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
, lembrando que
:
Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, a solução final é:
Resposta
A integral calculada é
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Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(a)
;
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo: