integral x^2 raiz3-2 x d x

Passo 1

Então, a gente tem a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é o de integração por substituição. Vamos precisar substituir uma parte da expressão para simplificar a integral e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Vamos definir . Essa escolha ajuda a simplificar o termo dentro da raiz.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = -2 Rightarrow dx = -du2 em relação a . Calculando, temos:
Isso nos permite substituir na integral original.

Passo 4

Vamos também expressar x = 3 - u2 em termos de integral x^2 raiz3-2x , dx = integral ( 3 - u2 )^2 raizu ( -du2 ) . Da substituição , isolando :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
- 18 integral (3 - u)^2 u^1/2 , du
Expandindo (3 - u)^2 = 9 - 6u + u^2 :
- 18 integral ( 9u^1/2 - 6u^3/2 + u^5/2 ) du
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
- 18 ( 9 cdot 23 u^3/2 - 6 cdot 25 u^5/2 + 27 u^7/2 ) + C
Simplificando:
- 18 ( 6u^3/2 - 125u^5/2 + 27u^7/2 ) + C

Resposta

Substituindo -34 (3 - 2x)^3/2 + 310 (3 - 2x)^5/2 - 128 (3 - 2x)^7/2 + C de volta, a integral avaliada é:

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