integral0^pi6(1-cos (3 x)) sen(3 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que facilita a integração de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos expandir o produto:
(1 - cos(3x)) sin(3x) = sin(3x) - cos(3x) sin(3x)
Agora, nossa integral fica:
integral0^pi6 sin(3x) , dx - integral0^pi6 cos(3x) sin(3x) , dx

Passo 3

Vamos resolver cada parte separadamente. Começando com a primeira integral:
integral sin(3x) , dx
Sabemos que a integral de -13 cos(3x) |0^pi6 é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, a segunda integral:
integral cos(3x) sin(3x) , dx
Aqui, podemos usar a substituição integral u cdot du3 = 13 integral u , du = 16 u^2 + C = 16 sin^2(3x) + C , então 16 sin^2(3x) |0^pi6 ou . Substituindo na integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

Calculando todas as partes e somando os resultados, a integral é igual a .

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