Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando a técnica de separação de variáveis. Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas de
em relação a
. Para resolver, precisamos isolar as variáveis
e
de lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, isolamos
:
Isso nos dá uma expressão para a derivada de
em termos de
e
.
Passo 4
Vamos simplificar o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, reescrevemos
para separar as variáveis
e
:
Multiplicamos ambos os lados por
e
para separar:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis:
Mas parece que houve uma confusão. Vamos reorganizar:
Multiplicando ambos os lados por e dividindo por
:
Multiplicando ambos os lados por
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Vamos resolver as integrais separadamente.
Passo 8
Integrando o lado esquerdo:
Passo 9
Agora, integrando o lado direito:
Podemos decompor a fração usando frações parciais:
Resolvendo, encontramos
,
,
:
Passo 10
Integrando:
Passo 11
Igualando as integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 12
Para simplificar, vamos reescrever a equação exponencialmente:
onde
é uma constante.
Passo 13
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
$© A solução apresenta no item (b) é explícita ou implícita?
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
Condição inicial:
Solução proposta:
Solução proposta:
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
$(b) EDO: y
Solução proposta:
$(b) EDO: y
Solução proposta: