Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
dy^2 - 1 - (2y + xy)y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando a técnica de separação de variáveis. Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas de y em relação a x. Para resolver, precisamos isolar as variáveis x e y de lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação:
Aqui, representa a derivada de y em relação a x, ou seja, .

Passo 3

Agora, isolamos :
Isso nos dá uma expressão para a derivada de y em termos de x e y.

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, reescrevemos para separar as variáveis y e x:
Multiplicamos ambos os lados por e para separar:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis:
Mas parece que houve uma confusão. Vamos reorganizar:
Multiplicando ambos os lados por e dividindo por :

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Vamos resolver as integrais separadamente.

Passo 8

Integrando o lado esquerdo:

Passo 9

Agora, integrando o lado direito:
Podemos decompor a fração usando frações parciais:
Resolvendo, encontramos , , :

Passo 10

Integrando:

Passo 11

Igualando as integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante C:

Passo 12

Para simplificar, vamos reescrever a equação exponencialmente:
onde é uma constante.

Passo 13

Finalmente, isolando x:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde K é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
(e^(3y) - y) cos(2x) dy/dx = e^y sen(2x)
$© A solução apresenta no item (b) é explícita ou implícita?
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
y' + 2 x y^2 = 0 Condição inicial: y(0) = 1, x ∈ ]-1, 1[
Solução proposta: y = 1 / (x^2 - 1)
integral x sec ^2(3 x) d x
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
$(b) EDO: y
Solução proposta: EDO: y Solução proposta: