Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral ln (x)^2x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral ln (x)^2x^2 dx. Nesse exercício, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. Precisaremos aplicar essa técnica duas vezes para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da nossa integral para aplicar a integração por partes. Vamos definir:
u = (ln x)^2 e dv = 1x^2 dx
Agora, calculamos as derivadas e integrais necessárias:
du = 2 ln x cdot 1x dx e v = -1x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituímos os valores encontrados:
integral (ln x)^2x^2 dx = (ln x)^2 cdot (-1x) - integral (-1x) cdot 2 ln x cdot 1x dx
Simplificando:
= -(ln x)^2x + 2 integral ln xx^2 dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral ln xx^2 dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes, definindo:
u = ln x e dv = 1x^2 dx
Calculamos:
du = 1x dx e v = -1x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituímos:
integral ln xx^2 dx = ln x cdot (-1x) - integral (-1x) cdot 1x dx
Simplificando:
= -ln xx + integral 1x^2 dx
Calculando a integral:
integral 1x^2 dx = -1x + C
Portanto:
integral ln xx^2 dx = -ln xx - 1x + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
-(ln x)^2x + 2 ( -ln xx - 1x ) + C
Simplificando:
= -(ln x)^2x - 2 ln xx - 2x + C
Podemos fatorar o denominador:
= -(ln x)^2 + 2 ln x + 2x + C

Resposta

A integral integral ln (x)^2x^2 dx é igual a:
-(ln x)^2 + 2 ln x + 2x + C

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