integral 2 x+3(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais envolvendo frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração de expressões mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral 2x(x^2 + 1)^2 , dx + integral 3(x^2 + 1)^2 , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte: . Aqui, podemos usar a substituição. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é , que aparece no numerador.

Passo 4

Com a substituição, a integral fica:
integral 1u^2 , du
Integrando, temos:
integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C = -1x^2 + 1 + C

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte: integral 1(x^2 + 1)^2 , dx = x2(x^2 + 1) + 12 arctan(x) + C . Para essa integral, podemos usar uma fórmula de integração que envolve funções do tipo 3x2(x^2 + 1) + 32 arctan(x) + C . A fórmula é:
Multiplicando tudo por 3, temos:

Resposta

Somando as duas partes que resolvemos, a solução completa da integral é:
-1x^2 + 1 + 3x2(x^2 + 1) + 32 arctan(x) + C

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