integral 3 x+4(x^2-1)(x-2) d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que resolver a integral . Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar mais fácil. Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes que facilitem essa divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Sabemos que (x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2) é uma diferença de quadrados, então pode ser fatorado assim:
Então, o denominador todo fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração 3x + 4(x - 1)(x + 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx - 2 como uma soma de frações mais simples usando frações parciais:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar 3x + 4 = A(x + 1)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 1) , 3(1) + 4 = A(1 + 1)(1 - 2) + B(0) + C(0) 7 = A(2)(-1) 7 = -2A A = -72 e 3(-1) + 4 = A(0) + B(-1 - 1)(-1 - 2) + C(0) 1 = B(-2)(-3) 1 = 6B B = 16 , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador completo 3(2) + 4 = A(2 + 1)(2 - 2) + B(2 - 1)(2 - 2) + C(2 - 1)(2 + 1) 10 = C(1)(3) 10 = 3C C = 103 :
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos 3x + 4(x - 1)(x + 1)(x - 2) = -72(x - 1) + 16(x + 1) + 103(x - 2) , -72 ln|x - 1| e 16 ln|x + 1| , podemos reescrever a fração original:
103 ln|x - 2|
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que .
  • Integrando :
  • Integrando :
  • Integrando :

Resposta

A integral é igual a:
-72 ln|x - 1| + 16 ln|x + 1| + 103 ln|x - 2| + C
Onde é a constante de integração.

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