Passo 1
Beleza! A gente tem que resolver a integral
. Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar mais fácil. Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes que facilitem essa divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que
é uma diferença de quadrados, então pode ser fatorado assim:
Então, o denominador todo fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração
como uma soma de frações mais simples usando frações parciais:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador completo
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que
.
- Integrando
:
- Integrando
:
- Integrando
:
Resposta
A integral é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Determine os quatro menores números positivos
tais que:
c)
c)